Matemáticas: si te parecen fáciles es que las estás haciendo mal.

domingo, 29 de noviembre de 2015

Sistema de ecuaciones de segundo grado lineal

1 .Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben verificarse para los mismos valores de las incógnitas, llamados soluciones del sistema.

2 .Un sistema de ecuaciones es de segundo grado si al menos una de sus ecuaciones es de segundo grado.

3 . Un sistema equivalente son aquellos que tienen las mismas soluciones, aunque no tengan el mismo número de ecuaciones.

4 .Un sistema de ecuaciones lineales:

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas de igualdades de la forma:

Las incógnitas son x₁ , x₂ ,……, x_n
Los coeficientes son a_ij
Los términos independientes son k₁ , k₂ ,……, k_m

En función del número de soluciones, los sistemas se clasifican en :

Compatibles: son los que tienen, al menos, una solución.

Determinado: Si posee una única solución

Indeterminado: Si posee más de una solución (infinitas)

• Incompatibles: Son los que no poseen solución.

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede transformar en otra equivalente del tipo :

ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0

Una ecuación de segundo grado de la forma ax² + bx + c = 0 tiene por soluciones o raíces :

x = - b ± √ b² – 4 ac

La expresión ∆ = b² - 4ac se llama discriminante

1. Resolución de las ecuaciones incompletas de segundo grado :

Si b = c = 0, la ecuación es de la forma ax² = 0 y se resuelve despejando la incógnita x. La única solución es x = 0

Si b = 0, la ecuación es de la forma ax² + c = 0 y se resuelve despejando la incógnita x . Tiene como solución x = ± √ - c

a

si c = 0, la ecuación es de forma ax² + bx = 0 y se resuelve sacando factor común e igualando a cero los factores resultantes

x ( ax + b ) = 0 ⇔ x = 0 o x = - b

a

2. Relaciones de Cardano

Toda ecuación de segundo grado de la forma ax² + bx + c = 0 adopta la forma: x2 - Sx + P = 0

Siendo : S = x₁ + x₂ = - b

P = x₁ • x₂ = c

Con x_{1 y}x₂ las soluciones de la ecuación

_{3. Las ecuaciones pueden factorizarse :}

Son ecuaciones de la forma P(x) = 0 en las cuales el polinomio P(x) se puede descomponer en factores. Las soluciones se obtienen igualando a cero cada factor de la descomposición factorial

4. Las ecuaciones bicuadradas :

Son ecuaciones de la forma ax⁴ + bx²+ c = 0. Para resolverlas se transforman en ecuaciones de segundo grado

_{5. Las ecuaciones irracionales :}

Una ecuación es irracional cuando tiene la incógnita bajo el signo radical y su resolución es

1. Se aísla un radical en un miembro, pasando los restantes términos al otro miembro.
2. Se elevan al cuadro los dos miembros de la ecuación.
3. Si todavía existe algún radical en la ecuación se repite el proceso anterior.
4. Se resuelve la ecuación resultante y se comprueba cuáles de las soluciones obtenidas verifican la ecuación con radicales dada.

sábado, 14 de noviembre de 2015

Sistames de ecuaciones :

Observación del profesor : Una ecuación puede verse como un sistema de ecuaciones de solo una ecuación
La solución en un sistema verifica todas las ecuaciones a la vez

2x + 1 = 0

X – 3 = 0 à X = - 1 { - 1 }

2 2 la solución es ø

X = 3 {3}

Ecuación polinómica de 2 grado :

ax2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 )

x2 + b x + c = 0

a a

Ecuaciones Irracionales :

√x²- 1 , +1 = 0

√x² – 1 = x – 1 ; ( √ x² – 1 )² = ( x – 1)²;

X² – 1 = x² + 1 – 2x ; 2x = 2 ; x = 1

Ahora hay que comprobarlo ya que hemos elevado al cuadrado y que se pueden añadir soluciones estrañas o también llamadas no válidas

Comprobación :

√1²- 1 , +1 = 0

√0 + 1 = 0

Ecuaciones Polinómicas :

Las ecuaciones polinómicas son una clase que comprende tanto las ecuaciones lineales como las cuadráticas. La forma general de la ecuación polinómica es:

a_nxⁿ + a_n-1x_n-1 + … + a² × 2 + a^1x + a₀ = 0

Aquí x representa una variable en particular, y a_n, a_n-1. . . a₂, a₁, a₀

La solución al problema del polinomio, consiste en encontrar todas las raíces de la ecuación dada.

Ecuaciones Equivalentes :

Observación : Utilizamos el plural cuando la operación es simétrica

A los miembros de una ecuación los multiplicamos por un número distinto de la operación equivalente

Ejemplo : x = 2 es 2

0x = 0 todos los ℝ

Descomposición en factores simples :

Descomposición de fracciones algebraicas en factores simples si consideramos integrales de la forma $\int$ ${\frac{P(x)}{Q(x)}}$ , donde P(x) y Q(x) dx son polinomios en x. Si el grado de P(x) es mayor que el de Q(x), Efectuamos la división de polinomios. Si C(x) es el cociente, y R(x) el resto, será:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$ dx = $\displaystyle \int$ C(x) dx + $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{R(x)}{Q(x)}}$ dx

Sea pues el grado de P(x) menor que el de Q(x).
Efectuamos la descomposición de Q(x) en la forma:
Q(x) = (x - a₁).(x - a₂)...(x - a_n)

- Si las raíces del polinomio, a_i, son reales y distintas, identificamos el integrando con la siguiente suma de fracciones simples:

${\frac{P(x)}{Q(x)}}$ = ${\frac{A_{1}}{x-a_{1}}}$ + ${\frac{A_{2}}{x-a_{2}}}$ + .. + ${\frac{A_{n}}{x-a_{n}}}$
Determinamos el valor de los A_i efectuando la suma de fracciones:
${\frac{P(x)}{Q(x)}}$ = ${\frac{A_{1}(x-a_{2})..(x-a_{n})+A_{2}(x-a_{1}%% )..(x-a_{n})+..A_{n}(x-a_{1})..(x-a_{n-1})}{Q(x)}}$
E identificando los coeficientes de los polinomios de los dos numeradores. La integral quedará:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$ dx = A₁ln(x - a₁) + A₂ln(x - a₂) + .. + A_nln(x - a_n)

Ejemplo: $\int$ ${\frac{x^{4}-4x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ dx. Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, efectuamos la división, obteniendo:

Resolvemos Ejercicio Planteado :

ax + b = 0

Si a = 0 Ɇ solución
Si a ≠ 0 y b ≠ 0 Ǝ solución
Si b = 0 ⇒ x = 0
Si a = 0 y b = 0 Ǝ infinitas soluciones

Corrección del profesor :

ax + b = 0 ⇒ ax = - b

1) a ≠ 0

x = -b a = b ⇒ ac = bc

Contraejemplo:

8 • 0 = 3 • 0 ; 8 ≠ 3 ⇒ a = b

Demostración :

ac = bc ˰ c ≠ 0

2) a = 0

0x + b = 0 Si b = 0 = ℝ

Si ≠ 0 no hay solución la cual es el conjunto vacio representado como : ø