EJERCICIO 4

Problema 4

Resuelve el triángulo DEN sabiendo que ABCDE es un pentágono regular, M es el punto medio del radio, en el 

eje OX, de la circunferencia circunscrita a dicho pentágono y que tomamos como unidad de medida, N es un punto en el eje OX tal que DM = NM. Utiliza WIRIS para realizar los cálculos paso a paso y dibuja la figura con la solución utilizando GEOGEBRA. Guarda en tu carpeta de trabajo los correspondientes archivos.

He supuesto que el radio de la circunferencia r=1, luego he ido haciendo todos los cálculos que he necesitado con WIRIS.

Y luego he dibujado la solución usando GEOGEBRA.

EJERCICIO 3

A)  Elabora una construcción dinámica con GEOGEBRA que permita ver dicha evolución.

B) Demuestra, utilizando el teorema de Tales, que el triángulo MPR es isósceles.

  

C) Como el segmento AB se desliza por la semicircunferencia, el triángulo MPR varía, demuestra que cualquiera de esos triángulos MPR son semejantes.

 Son semejantes porque si aumenta la altura, la base disminuye proporcionalmente y si la base aumenta, la altura disminuye proporcionalmente.

EJERCICIO 2

2.- Se quiere reconstruir la ubicación y las dimensiones de un claustro de forma cuadrada desaparecido y del que se ha encontrado su pozo. Se tienen dudas de la ubicación del pozo en relación al claustro pero se sabe que dicho pozo distaba 30, 40 y 50 m de las esquinas del claustro. Utiliza WIRIS para realizar los cálculos paso a paso y dibuja la solución con GEOGEBRA. Guarda en tu carpeta de trabajo los correspondientes archivos.

He dibujado el claustro con GEOGEBRA, al ver el dibujo podemos usar la trigonometría para resolverlo o podemos trazar triángulos rectángulos y usar Pitágoras.

Lo he resuelto usando la trigonometría con WIRIS, he usado el teorema del coseno  (Cálculamos un lado del triángulo conocidos los otros dos lados y el ángulo comprendido entre ellos).

Hacemos un sistema de dos ecuaciones.

Luego he comprobado con GEOGEBRA que la solución X2 =14.26 no es valida para el problema porque el pozo estaría fuera del claustro.

EXAMEN PARA CASA EJERCICIO 1

1.- Definición de incentro de un triángulo. Calcula, paso a paso, utilizando WIRIS, el área de la región plana comprendida entre la circunferencia inscrita y la circunferencia circunscrita al triángulo isósceles cuyos lados iguales miden 3 unidades y el ángulo comprendido entre dichos lados mide 0’5 radianes. ¿Dicha región es una corona circular? Razona tu respuesta. Dibuja dicha región utilizando GEOGEBRA y PAINT. Guarda en tu carpeta de trabajo los correspondientes archivos.

El Incentro es el punto en el que se cortan las tres bisectrices de los ángulos internos del triángulo, y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo 

No es una corona circular porque las circunferencias no son concéntricas.

Inecuaciones de primer grado con los incógnitas:

Una inecuación de primer grado con los incógnitas es una inecuación que se puede transformar en otra equivalente de una de las siguientes formas :
                                                                                                         ax + by ˃ c
                                                                                                         ax + by ˂ c
                                                                                                         ax + by ⦥ c
                                                                                                         ax + by ⦤ c

Para resolver una inecuación de primer grado con dos incógnitas :

1. Representamos graficamente la función afín o lineal :      ax + by < c    asociada a la inecuación y obtenemos la recta correspondiente .
2. La recta divide el plano en dos semiplanos .Discutimos cuál de los semiplanos es solución utilizando un punto y estudiando si verifica o no la inecuación :
3. Inclusión o no de la recta o frontera en la solución :

• En la inecuación del tipo :

                      ax + by > c               ax + by < c        no se incluye la recta o frontera

• Y en las inecuaciones del tipo :

                      ax + by ⦥ c                 ax + by ⦤ c         si se incluye en la recta o frontera

 

Resolución inecuación racional:

(3x - 2)/x > 4/x

Es una ecuación racional. No podemos simplificar los denominadores (aunque ambos miembros están divididos por x), porque x puede ser un número positivo o negativo, y si fuera negativo habría que invertir la desigualdad (porque al simplificar estamos dividiendo por x).

Lo que se hace allí es pasar todos los términos al mismo miembro, y que quede cero en el otro:

(3x - 2)/x - 4/x > 0

Y ahora quedó una resta de dos fracciones con el mismo denominador, así que podemos directamente restar los numeradores:

(3x - 2 - 4)/x > 0
(3x - 6)/x > 0

Y ahora usamos que:
Una fracción es mayor que cero (positiva), cuando:

- El numerador y el denominador son mayores que cero (positivos) (+ por + = +)

- El numerador y el denominador son menores que cero (negativos) (- por - = -)

(Para ver más sobre esto puedes ver las dos respuestas que siguen abajo que explican lo mismo)

Así que hay dos posibilidades:

1) 3x - 6 > 0     y     x > 0     ó

2) 3x - 6 < 0     y     x < 0


Alternativa 1:

3x - 6 > 0    y    x > 0

3x > 6

x > 6/3

x > 2          y      x > 0

Nos podemos dar cuenta (y sino se grafican en la recta numérica) que los números que cumplen esas dos cosas son los números mayores que 2:

x > 2
Números que pertenecen al intervalo:
(2;+∞)


Alternativa 2:

3x - 6 < 0     y     x < 0

x < 2             y     x < 0

Y los que cumplen esas dos cosas son los números menores que 0:
x < 0

Números que pertenecen al intervalo:

(-∞;0)

La solución final es el conjunto formado por los elementos de los dos intervalos. Como son intervalos que no tienen ningún número en común ("disjuntos", lo puedes ver si graficas los dos en la misma recta numérica), la solución es la unión de esos dos intervalos:

SOLUCIÓN: (2,+∞) U (-∞;0)

 

  Inecuaciones Racionales:

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a 2. Es uno de los que trae más complicaciones, porque una inecuación racional es una expresión de tipo fracción, donde la variable está en el numerador y el denominador.

Ojooo:

1.      No multiplicar en cruz

2.      Para saber si el intervalo es abierto y cerrado

3.      El denominador siempre es abierto

4.      Numerador depende de la desigualdad

Pasos

1.      Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

2.      Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3.      Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

4.      La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

 Para resolver la inecuacion racional de los tipos :

                      ax + b   > O        ax + b    ˂ O

                      cx + d                 cx + d

 

aplicamos la siguiente propiedad:

 

 

´´ La expresión   P(x)   =  ax + b  toma los valores del mismo signo en cada uno de los intervalos :

                            Q(x)        cx + d

(- ∞ , x₁ ) ; ( x₁ ,x₂ ) ; ( x₂ , + ∞ ) siendo x_{1 ,} x₂  las raices de los polinomios P(x) y Q(x) ´´