Operaciones Polinomicas:

        P(x) = 0

• Proposicion : 

1.                 a = b  ⇔  a + c =  b + c
2.                 a = b  ⇒  ac  =  bc

•       Ejemplo :
• 
  

X + 5     -     x       =    x  •     2x + 1                       Realizamos el m.c.m  que es = 6       

   2               3                           2

                                ↓

       3( x + 5) – 2x = 6x – 3( 2x + 1) ;

           3x + 15 – 2x = 6x – 6x – 3 ;

            X + 15 =  - 3  ———————————————————————→  x + 18 = 0

           x + 15 + ( -15) = - 3 + ( - 15)

                        x = - 18

      Operaciones con fracciones algebraicas :

• 1 .Suma de fracciones algebraicas

• 1.1 .Con el mismo denominador es otra fracción cuyo numerador de la suma de los numeradores, y cuyo denominador es el mismo de las fracciones dadas

 2x + 5    +    x - 2     =   2x + x + 5 - 2    =    3x +3      =       3 (x + 1)       =   3

  X + 1           x + 1                  x + 1                 x + 1                    x + 1 

• 1.2 . .Con distinto denominador se reducen a común denominador y después se opera 

 X – 2     +     3x     =         x   -  2             =         3x ( x – 1)         =      -3x2  + 4x – 2      

X² - 1          x + 1         ( x - 1 )( x + 1 )          ( x + 1 )( x – 1)             ( x + 1)(x – 1)

• 2 . Producto y potencia de fracciones algebraicas

• 2.1 .El producto de fracciones algebraicas es la fracción cuyo numerador es el producto de los numera, y cuyo denominador es el producto de los denominadores 

 X – 2     +     x2 + 3x     =         ( x – 2) ( x + 3) x             =                x                          

X  + 3            x + 1                ( x + 3 )( x – 2)( x + 2)                      ( x + 2)

• 2.2 .Las potencias de una fracción algebraica es la fracción algebraica que se obtiene al multiplicar la fracción dada por si misma tantas veces como indique el exponente. O bien, es la fracción que se obtiene al elevar el numerador y el denominador al exponente

 

 

     

      Fracciones Algebraicas :

Una fracción algebraica es el cociente de dos polinomios y se representa por:

              

P(x) es el numerador         Q(x) es el denominador.FRACCIONES 

• 1 .ALGEBRAICAS EQUIVALENTES :

Dos fracciones algebraicas si son equivalentes se representa así :

Si comprobamos que P(x) · S(x) = Q(x) · R(x).

Ejemplo :

sabemos q son equivalentes porque:

(x+2) · (x− 2) = x² − 4

2 .SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS : 

                 X4 + 2x³ + x² +2x    =    x ( x + 2) • ( x² + 1)                                                                                           X³ – 2x² + x – 2              ( x – 2 ) • (x2 + 1)

Es equivalente a la fracción :   

                                                               X ( x + 2)  

                                                                   X - 2 

• Una fracción algebraica es obtener una fracción más sencilla equivalente a la dada. Para simplificar una fracción algebraica, factorizamos los polinomios numerador y denominador de la fracción, y lo dividimos  entre los factores comunes  

• Llamamos fracción algebraica irreducible de una dada a la fracción equivalente cuyo numerador y denominador son polinomios primos entre sí :

                          P(x)             Es irreducible  ⇔  MCD [ P(x) , Q(x) ] = 1

                          Q(x)

 

     Factorización Polinomios ( Ruffini )

 

     P (x) = x² + ( 2+√5 )x + 2√5

           Factorizar es buscar la raíz de p(x)  à P (x) = 0 

  Empleando la formula :

  

                                                          -b ± √b² – 4ac

                                                             2a

  Factorizar el polinomio ;

Hemos encontrado 2 raices de las cuales solo utilizaremos 1 para realizar el teorema del factor

Cogemos : 1/3

   

      X - 1/3 es divisor de p (x)

¿ Cómo encuentro la factorización ?

La encontraremos haciendo la división entera ( Ruffini )que está estrechamente  relacionada con la división entera que da de resto 0

      6x² + 7x – 3 = ( x – 1/3 ) • C (x)

                                                              Nos da C (x) = 6x + 9

 El resultado de la factorización es :

      6x2 + 7x – 3 = ( x – 1/3 ) • ( 6x + 9)

                                   +1/3           -3/2

  Si sustituimos x por 3/2 tiene q dar 0

 

      Polinomios ( Teorema del factor )

           _{P(x)  :}   x – a    ⇔     P(a) = 0    à   a es raíz de p(x)

    Cociente :   C (x)

    Resultado : 0    

  

   P(x) = ( x-a ) • C (x)   

    Factores o divisores  de p(x) 

·        X – a es un factor (divisor) de P(x)  ⇔  a es raíz de P(x)

·        P(x) es múltiplo de  x –a

·        X – a divide a P(x)

Demostración :

         

    P(x) = ( x- a ) • C (x) ;               Aplicamos teorema

    P(a) = 0                                              del resto                  

     P(a) = 0  à P (x)  : x –a  dando de esto 0

     P (x) = ( x – a ) • C (x) +  ø

  

  Polinomios ( Teorema del resto )

     
            _P(x)   :   x – a     ⇔    ℝ = P (a)

       El cociente = C(x)

       Si da resultado  =  ℝ

    No ℝ (x) porque es x a la 0   

• Demostración :

    _{P(x) = ( x –} a ) • C (x) + ℝ ;

    P(a) = ( a – a ) • C (a) + ℝ ;

    P(a) = ℝ

• Ejemplo : 

   _{-  X}⁷ + √2

   P ( -√2 ) = ( -√2 )⁷ + √2 ;

   P ( -√2 ) = ( -√2⁷ ) + √2 ;

   ( -8√2 ) + √2 ;

   8√2 + √2 ;

   P ( -√2 ) = 9 √2

      Raíz de un polinomio p(x)

 Definición : Si  a  es raíz  P(x)  ⇔ P(a) = 0

 Proposición :  P(x) ∈ ℤ [x]

                                                    a_n ≠  0          a_i ∈ ℤ

 A ∈  ℤ raíz de p(x) ⇒ a /a_o

                   

  Los números que estamos buscando los llamaremos    x?
   
          x? p(x) = 0    -----> ecuacion polinómica

  x ? es la solucion de esta ecuación polinómica o raíz p(x)

•     Función polinómicas :

  Una función polinómica es una función asociada a un polinomio cuyo esquema analítico es el valor número      de un polinomio

f : R    à  ℝ

x   à   y =  f(x) =  p(x)

                               valor numérico en (x) del polinomio

todo ello es la expresión analítica de la función  f

     x? p(x) = 0  à cero de la función polinómica