Inecuaciones de primer grado con los incógnitas:

Una inecuación de primer grado con los incógnitas es una inecuación que se puede transformar en otra equivalente de una de las siguientes formas :
                                                                                                         ax + by ˃ c
                                                                                                         ax + by ˂ c
                                                                                                         ax + by ⦥ c
                                                                                                         ax + by ⦤ c

Para resolver una inecuación de primer grado con dos incógnitas :

1. Representamos graficamente la función afín o lineal :      ax + by < c    asociada a la inecuación y obtenemos la recta correspondiente .
2. La recta divide el plano en dos semiplanos .Discutimos cuál de los semiplanos es solución utilizando un punto y estudiando si verifica o no la inecuación :
3. Inclusión o no de la recta o frontera en la solución :

• En la inecuación del tipo :

                      ax + by > c               ax + by < c        no se incluye la recta o frontera

• Y en las inecuaciones del tipo :

                      ax + by ⦥ c                 ax + by ⦤ c         si se incluye en la recta o frontera

 

Resolución inecuación racional:

(3x - 2)/x > 4/x

Es una ecuación racional. No podemos simplificar los denominadores (aunque ambos miembros están divididos por x), porque x puede ser un número positivo o negativo, y si fuera negativo habría que invertir la desigualdad (porque al simplificar estamos dividiendo por x).

Lo que se hace allí es pasar todos los términos al mismo miembro, y que quede cero en el otro:

(3x - 2)/x - 4/x > 0

Y ahora quedó una resta de dos fracciones con el mismo denominador, así que podemos directamente restar los numeradores:

(3x - 2 - 4)/x > 0
(3x - 6)/x > 0

Y ahora usamos que:
Una fracción es mayor que cero (positiva), cuando:

- El numerador y el denominador son mayores que cero (positivos) (+ por + = +)

- El numerador y el denominador son menores que cero (negativos) (- por - = -)

(Para ver más sobre esto puedes ver las dos respuestas que siguen abajo que explican lo mismo)

Así que hay dos posibilidades:

1) 3x - 6 > 0     y     x > 0     ó

2) 3x - 6 < 0     y     x < 0


Alternativa 1:

3x - 6 > 0    y    x > 0

3x > 6

x > 6/3

x > 2          y      x > 0

Nos podemos dar cuenta (y sino se grafican en la recta numérica) que los números que cumplen esas dos cosas son los números mayores que 2:

x > 2
Números que pertenecen al intervalo:
(2;+∞)


Alternativa 2:

3x - 6 < 0     y     x < 0

x < 2             y     x < 0

Y los que cumplen esas dos cosas son los números menores que 0:
x < 0

Números que pertenecen al intervalo:

(-∞;0)

La solución final es el conjunto formado por los elementos de los dos intervalos. Como son intervalos que no tienen ningún número en común ("disjuntos", lo puedes ver si graficas los dos en la misma recta numérica), la solución es la unión de esos dos intervalos:

SOLUCIÓN: (2,+∞) U (-∞;0)

 

  Inecuaciones Racionales:

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a 2. Es uno de los que trae más complicaciones, porque una inecuación racional es una expresión de tipo fracción, donde la variable está en el numerador y el denominador.

Ojooo:

1.      No multiplicar en cruz

2.      Para saber si el intervalo es abierto y cerrado

3.      El denominador siempre es abierto

4.      Numerador depende de la desigualdad

Pasos

1.      Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

2.      Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3.      Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

4.      La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

 Para resolver la inecuacion racional de los tipos :

                      ax + b   > O        ax + b    ˂ O

                      cx + d                 cx + d

 

aplicamos la siguiente propiedad:

 

 

´´ La expresión   P(x)   =  ax + b  toma los valores del mismo signo en cada uno de los intervalos :

                            Q(x)        cx + d

(- ∞ , x₁ ) ; ( x₁ ,x₂ ) ; ( x₂ , + ∞ ) siendo x_{1 ,} x₂  las raices de los polinomios P(x) y Q(x) ´´

 

 

Resolución de los ejercicios del examen:

Ejercicio 17 :.- Encuentra un polinomio de grado 4 que no tenga raíces

X⁴ + 1 = 0 

X⁴ = -1  pasamos el termino independiente  al otro lado del igual y al pasarlo cambiamos su signo de positivo a negativo

X = ⁴√-1 para que la x este elevada a la uno tenemos que hay que meter el termino del otro lado del igual dentro de la raiz elevada a la 4 y nos da una raiz de indice negativo no tiene solución en los reales 

x no tiene solución en los reales si x es distinto de 0

Ejercicio 40 :-Escribe un polinomio de segundo grado p(x) tal que p(-1) = 1, p(2) = -3 y p(3) = 0.

P(x) = ax⁴ + bx² + c ;
Como primer sustituimos los valores a P(x) por (-1), (2), (3)

P(-1) = 1 ; a (-1)² +b (-1) +c =1

P(2) = -3 ;  a (2)² +b (2) +c =-3

P(3) = 0 ;  a (3)² +b (3) +c = 0

Luego planteamos las distintas ecuaciones como un sistema de ecuaciones:

     a -  b  +  c = 1     
  4a + 2b + c = -3    ⇒     damos un valor a c = 1 - a + b  y lo sustituimos en la ecuación 
  9a + 3b + c = 0

Luego multiplicamos a cada ecuación por un número para q el termino a o b se pueda ir haciendo una suma : yo multiplico la primera ecuación por - 4 y la segunda ecuación por 3

Por ultimo sacamos el valor de a y lo sustituimos en una de las ecuaciones para que nos de el valor de b y después volvemos a sustituir ahora el termino a y b para hallar el ultimo valor el valor c

Inecuaciones de segundo grado:

En la resolución de inecuaciones de segundo grafo de los tipos :

                     ax² + bx + c ˃ 0        ax² + bx + c ˂ 0

y aplicamos la siguiente propiedad:

- El polinomio P(x) =  ax² + bx + c  toma valores del mismo signo en cada uno de los intervalos :

                                             (-∞, x₁ ) ; ( x₁ , x₂ ) ; ( x₂ , +∞ )

siendo x₁ y x₂ sus ceros o raices , con x₁ ˂ x₂ -

Ejemplo:           x² - 6x + 5 ⦥ 0

Calculamos las raíces del polinomio P(x)  x² - 6x + 5 que son  = 1 y    = 5 . Representamos estos valores  en la recta real  quedando esta dividida en tres intervalos . En cada uno de ellos el signo P(x) se mantiene constante por lo que basta con determinar el signo toma P(x) para un valor cualquiera en cada uno de los intervalos:

Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita:

Un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita es un conjunto de inecuaciones de primer grado y todas las inecuaciones con la misma incógnita.

La solución de un sistema de inecuaciones es el conjunto de números reales que verifican a la vez todas las inecuaciones 

Para reolver un sistema de inecuaciones se siguen estos pasos :si suponemos que tenemos este sistema de inecuaciones :

• Se resuelven cada inecuación por separado 

                                                   2x + 10 – 4x ⦤ x + 15  ⇔  -3x ⦤ 9

                                                                        3x ⦥ -9   ⇔   x ⦥ -3

                                                          2x – (x –2) ˃ 6  ⇔  2x – x + 2 ˃ 6

                                                                                      X ˃ 4

• Se buscan las soluciones comunes .

                                          

Como podemos observar en el gráfico, la solución del sistema de inecuaciones es: ( 4 , +infinito)

Inecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

• Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad .Los valores que verifican la inecuación son sus soluciones 
• Una inecuación de primer grado con una incógnita es una inecuación que se puede transformar en otra equivalente de una de las siguientes formas:

                    ax ˃ b              ax ⦥ b

                       ax ˂ b              ax ⦤ b

  Para resolver una inecuación de primer grado con una incógnita :

        1 . Operamos en ambos miembros suprimiendo los paréntesis que contengan 

        2 . Eliminamos denominadores reduciendo previamente ambos miembros a común denominador              positivo 

        3 . Trasponemos términos ; los términos que contengan la incógnita a un miembro , y los                          terminos independientes positivo

        4 . Reducimos términos semejantes en ambos miembros y llegamos a una inecuación de uno de                los tipos :

                        ax ˃ b              ax ⦥ b

                           ax ˂ b              ax ⦤ b

         5 . Despejamos la variable o incógnita

Las soluciones de una inecuación de primer grado con una incógnita se pueden  expresar po medio de :

• Un conjunto 
• Un intervalo
• Una gráfica