En nuestro primer día de clase nuestro profesor de matemáticas nos planteo el problema del carcelero loco el cual nos mando de deberes
Después de barajear varias opciones llegue a la conclusión que:
Podemos intentar hallar la solución a mano. Voy a plantearlo con las primeras 25 celdas , poniendo A en las celdas abiertas y C en las celdas cerradas aunque sea temporalmente.
Si te fijas en la diagonal que empieza debajo del número 1 y la recorres puedes un patrón
En realidad, las únicas que, en la diagonal del esquema quedan con una A son las celdas con los números 1, 4, 9 y 16 (que son cuadrados perfectos) que para que haya quedado A en la columna de algún número como el 1, 4, 9 y 16 es a causa de que el carcelero a pasado por hay un numero impar de veces
¿Qué tiene que pasar para que eso suceda? El carcelero, salvo por la celda número 1, pasa por todo el resto, al menos dos veces: en la vuelta inicial y, al menos, otra vez cuando le toca el número de esa celda. Pero cuando pasa por una celda, es porque el número de esa celda es múltiplo de algún número de una celda anterior…
¿Entonces? Esto quiere decir que para poder descubrir lasceldas por las que pasa el carcelero son un número impar de veces hay que ver qué números entre 1 y 100 tienen un número impar de divisores. Por ejemplo, si uno se fija en el esquema , por la celda número 12 el carcelero pasó seis veces. Esto sucede porque el número 12, es múltiplo de 1, de 2, de 3, de 4, de 6 y de 12. O sea, tiene seis divisores. Si uno mira en la celda número 17, el carcelero pasó por allí nada más que dos veces: en la primera vuelta y en la decimoséptima. Y esto quiere decir que el número 17 tiene sólo dos divisores. Y es lógico, porque el 17 es un número primo. Luego, los únicos dos números que lo dividen son el 1 y él mismo, el 17.
Compruebe, entonces, que las celdas que están identificadas con números primos son las únicas por las cuales el carcelero pasó EXACTAMENTE dos veces.
Último ejemplo, pero al revés si miras en la celda con el número 14 si queremos saber cuantas veces pasa el carcelero tenemos que buscar los divisores del 14. Este número tiene como divisores a: 1, 2, 7 y 14. Es decir, tiene cuatro divisores. Por lo tanto, el carcelero tuvo que pasar por allí sólo cuatro veces, y por lo tanto, la celda número 14 tiene que estar cerrada al finalizar el proceso.
Resumen: Para poder saber entonces cuáles serán las celdas que permanecerán abiertas, basta con contar qué números tienen un número impar de divisores.
Los únicos números que tienen un número impar de divisores son los cuadrados
El número 4 es un cuadrado porque 4 = 22
El número 9 es un cuadrado porque 9 = 32
Y así siguiendo, los números que son cuadrados entre 1 y 100 son:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100
ya que son, respectivamente:
12,
22, 32,
42, 52,
62, 72,
82, 92
y 102
Esto demuestra que cuando el carcelero loco termina su recorrido, las únicas celdas que quedan abiertas son la 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100
