Ejercicios examen para casa

                                 EXAMEN PARA CASA

Aqui os dejo algunos de los ejercicios del examen de matematicas para casa , espero que os sirvan de ayuda.

Ejercicio 1)

Ejercicio 2)





Ejercicio 3)

 

 

 

Ejercicio 4)

 

 

Ejercicio 5)

 

 

 

 

Ejercicio 8)

Ejercicio 9)

Ejercicio 10)

Ejercicio 11)

 

elementos de la conicas parte 2

ELEMENTOS DE LAS CÓNICAS

         2.- Hipérbola    (a, b>0) è hipérbola horizontal (con eje focal horizontal)

1.      Eje transverso o mayor: segmento de longitud 2a.

2.      Eje no transverso o menor: segmento de longitud 2b.

3.      Focos: los puntos F(c,0) y F’(-c,0) donde c² = a² + b²

4.      Distancia focal: segmento de longitud 2c.

5.      Eje principal o real o focal: recta que pasa por los focos F y F’.

6.      Eje secundario o imaginario: mediatriz del segmento FF'.

7.      Centro: punto de intersección de los ejes de la hipérbola.

                  8.      Excentricidad: E = ( c / a )   Como 0<a<c è e>1
    

9.      Vértices:

a.       Reales: los puntos A(a,0) y A'(-a,0) son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje real o focal de la hipérbola.

b.      Imaginarios: los puntos B(0,b) y B'(0,-b) son los puntos de intersección del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro un vértice real y de radio c.

                  10.  Directrices:  X = - a² / c     y     x = a² / c    o también  x = -a / e    y    x =  a / e  

    11.   y = ( b / a ) ⋅ x            e           y = ( -b / a ) ⋅ x

 

elementos de las conicas parte 1

ELEMENTOS DE LAS CÓNICAS

Nuestro profesor de matemáticas nos a facilitado esta pequeña chuleta sobre conicas espero que os sirva de ayuda

        1.- Elipse   ( X² / a² ) + ( y² / b² )  = 1  (a>b>0) è elipse horizontal (con eje focal horizontal)

 

 

 

                  1.      Eje transverso o mayor: segmento de longitud 2a.

2.      Eje no transverso o menor: segmento de longitud 2b.

                  3.      Focos: los puntos F(c,0) y F’(-c,0) donde    a² = b² + c²

4.      Distancia focal: segmento de longitud 2c.

5.      Eje principal o focal: recta que pasa por los focos F y F’.

6.      Eje secundario: mediatriz del segmento FF'.

7.      Centro: punto de intersección de los ejes de la elipse.

                 8.      Excentricidad: E = ( c / a )  Como 0<c<a è 0<e<1

9.      Vértices:

a.       Principales: los puntos A(a,0) y A'(-a,0) son los puntos de intersección de la elipse con el eje principal o focal de la elipse.

b.      Secundarios: los puntos B(0,b) y B'(0,-b) son los puntos de intersección de la elipse con el eje secundario de la elipse.

10. Directrices:   X = - a² / c     y     x = a² / c    o también  x = -a / e    y    x =  a / e

 

 

 

Ejercicios resueltos tema 7

                                        Os dejo algunos ya corregidos

Ejercicio 1:

A es  = a 51 cm 

Ejercicio 2:

1)  x + y – 7 = 0

2)  x – y + 3 = 0
Ejercicio 3: Un triángulo de vértices A (x1, y1), B (x2, y2) y C (x3, y3) tiene de coordenadas:

Z = ( x₁ + x₂ + x₃ ) / 3  ⋅  ( y₁ + y₂ + y₃ ) / 3
Z = ( -2 / 3 ) ⋅ ( 13/ 3 )

Ejercicio 4:

 d ( P , Q ) = √32 = 4√2

             d = (P , R ) = 6                d ( Q , R ) = √20 = 2√5

El perimetro es = 4√2 + 6 + 2√5 = 16,1

Ejercicio 9:

Posición relativa de dos rectas

                  Chuleta sobre como hayar la posicion relativa de dos rectas

Chuleta sobre formas de calcular ...

   Formas de calcular el vector director :

1)  Conocidas las coordenadas de 2 puntos  A ( x₁ , y₁ ) ; B ( x₂ , y₂ )

                    ⊽ = ĀḂ =  ( x₂ – x₁ , y₂ – y₁ )

2)  Con la ecuación general de la recta  Ax + By  = 0 :

                            ⊽ = ( - B , A )

   Formas de calcular la pendiente ``m´´

                1 ) Conociendo el vector director  ⊽ ( V_x , V_y )  ⇾  m = V_y  / V_x

   2 ) Conocidos 2 puntos  :  A ( x₁ , y₁ )

                                                 B ( x₂ , y₂ )

               m =  variación de y partido la variación de x =  y₂  - y₁   /  x₂ - x₁

 

  3 ) Con la ecuación general  Ax + By + C = 0  ⇾  m = A / -B

 

  4 ) Con el ángulo  α  que forma la recta con el eje 0X  ⇾  m =  tg α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                 

 

                                                                                             

 

os dejo aqui una pequeña chuleta sobre geometria analítica en el plano

 

                                    Ecuaciones de la recta

   Tomamos como referencia para las ecuaciones la siguiente foto:

 

 

basandonos en esta foto sacamos las siguientes formulas :

 

 

 

 

 

 

 

Clasificación de vectores

Vectores equipolentes

Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

 

Vectores libres

El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vectores fijos

Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

Vectores ligados

Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.

Vectores opestos

Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

Vectores unitarios

Los vectores untario tienen de módulo, la unidad.

Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

Vectores concurrentes

Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

Vector de posición

El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posición del punto P.

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

a₁ = a₂ = ··· = a_n = 0

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.

Vectores ortonormales

Dos vectores son ortonormales si:

1. Su producto escalar es cero.

2. Los dos vectores son unitarios

Geometría analítica en el plano

¿Que es un vector ?

 

Un vector fijo  AB es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).

                                                          

Un vector tiene:

1) Una dirección :La dirección del vector es la dirección de la recta quecontiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

2) Un sentido :El sentido del vector es el que va desde el origen A al extremo B.

                                         

3) Un módulo:

 

 

El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero. El módulo del vector es la longitud del segmento AB, se representa por 

Módulo de un vector a partir de sus componentes :

                                 

                                                                         

                                                                  

                              

 

       Módulo a partir de las coordenadas de los puntos :

                                              

                                     

           

 Coordenadas de un vector :

 

Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

 

 

Las coordenadas del vector son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen.