Inecuaciones de primer grado con los incógnitas:

Una inecuación de primer grado con los incógnitas es una inecuación que se puede transformar en otra equivalente de una de las siguientes formas :
                                                                                                         ax + by ˃ c
                                                                                                         ax + by ˂ c
                                                                                                         ax + by ⦥ c
                                                                                                         ax + by ⦤ c

Para resolver una inecuación de primer grado con dos incógnitas :

1. Representamos graficamente la función afín o lineal :      ax + by < c    asociada a la inecuación y obtenemos la recta correspondiente .
2. La recta divide el plano en dos semiplanos .Discutimos cuál de los semiplanos es solución utilizando un punto y estudiando si verifica o no la inecuación :
3. Inclusión o no de la recta o frontera en la solución :

• En la inecuación del tipo :

                      ax + by > c               ax + by < c        no se incluye la recta o frontera

• Y en las inecuaciones del tipo :

                      ax + by ⦥ c                 ax + by ⦤ c         si se incluye en la recta o frontera

 

Resolución inecuación racional:

(3x - 2)/x > 4/x

Es una ecuación racional. No podemos simplificar los denominadores (aunque ambos miembros están divididos por x), porque x puede ser un número positivo o negativo, y si fuera negativo habría que invertir la desigualdad (porque al simplificar estamos dividiendo por x).

Lo que se hace allí es pasar todos los términos al mismo miembro, y que quede cero en el otro:

(3x - 2)/x - 4/x > 0

Y ahora quedó una resta de dos fracciones con el mismo denominador, así que podemos directamente restar los numeradores:

(3x - 2 - 4)/x > 0
(3x - 6)/x > 0

Y ahora usamos que:
Una fracción es mayor que cero (positiva), cuando:

- El numerador y el denominador son mayores que cero (positivos) (+ por + = +)

- El numerador y el denominador son menores que cero (negativos) (- por - = -)

(Para ver más sobre esto puedes ver las dos respuestas que siguen abajo que explican lo mismo)

Así que hay dos posibilidades:

1) 3x - 6 > 0     y     x > 0     ó

2) 3x - 6 < 0     y     x < 0


Alternativa 1:

3x - 6 > 0    y    x > 0

3x > 6

x > 6/3

x > 2          y      x > 0

Nos podemos dar cuenta (y sino se grafican en la recta numérica) que los números que cumplen esas dos cosas son los números mayores que 2:

x > 2
Números que pertenecen al intervalo:
(2;+∞)


Alternativa 2:

3x - 6 < 0     y     x < 0

x < 2             y     x < 0

Y los que cumplen esas dos cosas son los números menores que 0:
x < 0

Números que pertenecen al intervalo:

(-∞;0)

La solución final es el conjunto formado por los elementos de los dos intervalos. Como son intervalos que no tienen ningún número en común ("disjuntos", lo puedes ver si graficas los dos en la misma recta numérica), la solución es la unión de esos dos intervalos:

SOLUCIÓN: (2,+∞) U (-∞;0)

 

  Inecuaciones Racionales:

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a 2. Es uno de los que trae más complicaciones, porque una inecuación racional es una expresión de tipo fracción, donde la variable está en el numerador y el denominador.

Ojooo:

1.      No multiplicar en cruz

2.      Para saber si el intervalo es abierto y cerrado

3.      El denominador siempre es abierto

4.      Numerador depende de la desigualdad

Pasos

1.      Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

2.      Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3.      Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

4.      La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

 Para resolver la inecuacion racional de los tipos :

                      ax + b   > O        ax + b    ˂ O

                      cx + d                 cx + d

 

aplicamos la siguiente propiedad:

 

 

´´ La expresión   P(x)   =  ax + b  toma los valores del mismo signo en cada uno de los intervalos :

                            Q(x)        cx + d

(- ∞ , x₁ ) ; ( x₁ ,x₂ ) ; ( x₂ , + ∞ ) siendo x_{1 ,} x₂  las raices de los polinomios P(x) y Q(x) ´´

 

 

Resolución de los ejercicios del examen:

Ejercicio 17 :.- Encuentra un polinomio de grado 4 que no tenga raíces

X⁴ + 1 = 0 

X⁴ = -1  pasamos el termino independiente  al otro lado del igual y al pasarlo cambiamos su signo de positivo a negativo

X = ⁴√-1 para que la x este elevada a la uno tenemos que hay que meter el termino del otro lado del igual dentro de la raiz elevada a la 4 y nos da una raiz de indice negativo no tiene solución en los reales 

x no tiene solución en los reales si x es distinto de 0

Ejercicio 40 :-Escribe un polinomio de segundo grado p(x) tal que p(-1) = 1, p(2) = -3 y p(3) = 0.

P(x) = ax⁴ + bx² + c ;
Como primer sustituimos los valores a P(x) por (-1), (2), (3)

P(-1) = 1 ; a (-1)² +b (-1) +c =1

P(2) = -3 ;  a (2)² +b (2) +c =-3

P(3) = 0 ;  a (3)² +b (3) +c = 0

Luego planteamos las distintas ecuaciones como un sistema de ecuaciones:

     a -  b  +  c = 1     
  4a + 2b + c = -3    ⇒     damos un valor a c = 1 - a + b  y lo sustituimos en la ecuación 
  9a + 3b + c = 0

Luego multiplicamos a cada ecuación por un número para q el termino a o b se pueda ir haciendo una suma : yo multiplico la primera ecuación por - 4 y la segunda ecuación por 3

Por ultimo sacamos el valor de a y lo sustituimos en una de las ecuaciones para que nos de el valor de b y después volvemos a sustituir ahora el termino a y b para hallar el ultimo valor el valor c

Inecuaciones de segundo grado:

En la resolución de inecuaciones de segundo grafo de los tipos :

                     ax² + bx + c ˃ 0        ax² + bx + c ˂ 0

y aplicamos la siguiente propiedad:

- El polinomio P(x) =  ax² + bx + c  toma valores del mismo signo en cada uno de los intervalos :

                                             (-∞, x₁ ) ; ( x₁ , x₂ ) ; ( x₂ , +∞ )

siendo x₁ y x₂ sus ceros o raices , con x₁ ˂ x₂ -

Ejemplo:           x² - 6x + 5 ⦥ 0

Calculamos las raíces del polinomio P(x)  x² - 6x + 5 que son  = 1 y    = 5 . Representamos estos valores  en la recta real  quedando esta dividida en tres intervalos . En cada uno de ellos el signo P(x) se mantiene constante por lo que basta con determinar el signo toma P(x) para un valor cualquiera en cada uno de los intervalos:

Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita:

Un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita es un conjunto de inecuaciones de primer grado y todas las inecuaciones con la misma incógnita.

La solución de un sistema de inecuaciones es el conjunto de números reales que verifican a la vez todas las inecuaciones 

Para reolver un sistema de inecuaciones se siguen estos pasos :si suponemos que tenemos este sistema de inecuaciones :

• Se resuelven cada inecuación por separado 

                                                   2x + 10 – 4x ⦤ x + 15  ⇔  -3x ⦤ 9

                                                                        3x ⦥ -9   ⇔   x ⦥ -3

                                                          2x – (x –2) ˃ 6  ⇔  2x – x + 2 ˃ 6

                                                                                      X ˃ 4

• Se buscan las soluciones comunes .

                                          

Como podemos observar en el gráfico, la solución del sistema de inecuaciones es: ( 4 , +infinito)

Inecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

• Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad .Los valores que verifican la inecuación son sus soluciones 
• Una inecuación de primer grado con una incógnita es una inecuación que se puede transformar en otra equivalente de una de las siguientes formas:

                    ax ˃ b              ax ⦥ b

                       ax ˂ b              ax ⦤ b

  Para resolver una inecuación de primer grado con una incógnita :

        1 . Operamos en ambos miembros suprimiendo los paréntesis que contengan 

        2 . Eliminamos denominadores reduciendo previamente ambos miembros a común denominador              positivo 

        3 . Trasponemos términos ; los términos que contengan la incógnita a un miembro , y los                          terminos independientes positivo

        4 . Reducimos términos semejantes en ambos miembros y llegamos a una inecuación de uno de                los tipos :

                        ax ˃ b              ax ⦥ b

                           ax ˂ b              ax ⦤ b

         5 . Despejamos la variable o incógnita

Las soluciones de una inecuación de primer grado con una incógnita se pueden  expresar po medio de :

• Un conjunto 
• Un intervalo
• Una gráfica

Sistema de ecuaciones logarítmicas :

  Un sistema de ecuaciones es logarítmico si , por lo menos , una de sus ecuaciones es                         logarítmicas

  Tipos de sistemas de ecuaciones logarítmicas :

          1 . Sistemas en los que una de las ecuaciones es logarítmicas .Este tipo de ecuaciones                 logarítmica se resuelven convirtiéndola en algebraicas .

    Ejemplo :    

                                Resolviendo el sistema algebraico obtenemos : x = 20 , y = 2

           2 . Sistemas en los que todas las ecuaciones  son logarítmicas .Para resolverlo usaremos          uno de los distintos procedimientos.

     Ejemplo: 

Ecuaciones Logarítmicas:

La siguiente ecuación es logarítmica:

                       log₂ (x + 3) = 4

Una ecuación es logarítmica cuando la incógnitas aparece afectada por un logaritmo.

Para la resolución de las ecuaciones logarítmicas utilizamos:

• Definición de logaritmo :      log_a m = z  ⇔  m = a^z
• Igualdad de logaritmos :       log_a m = log_a p ⇔  m = p

En las ecuaciones logarítmicas hay que comprobar siempre los resultados, pues, a veces , aparecen soluciones extrañas .

   Propiedades De Los Logaritmos:

Los logaritmos tienen las siguientes propiedades :

• 1 .El logaritmo de la unidad es 0 :      log_a 1 = 0
• 2 .El logaritmo de la base es 1 :      log_a a = 1
• 3 .El logaritmo de una potencia de la base es el exponente :    log_a a^x = x
• 4 .El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores :   

                            log_a ( x • y •…..• z ) = log_a x + log_a y +…….+ log_a z

• 5 .El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo divisor :

                            log_a ( x/y ) = log_a x – log_a y

• 6 .El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia :          log_a x^y = y • log_a x
• 7 . El exponente de la raíz es igual al logaritmo del radicando divido por el indice de la raíz:

log_a ⁿ√ x = log_a x

                       n

  Logaritmos :

  Observamos con atención la resolución de las siguientes ecuaciones :

• 2x = 16  ⇒  x = 16/2    ⇒ x = 8                                 
• X² = 16  ⇒  x = ±√ 16  ⇒ x = ± 4
• 2^x = 16  ⇒ 2^x = 2⁴  ⇒  x = 4
• 2^x = 10 

En la última ecuación no conocemos el valor de x, sin embargo sabemos que está comprendido entre 3 y 4, ya que 2³ = 8 y 2⁴ = 16 .

Para obtener el valor x necesitamos el concepto denominado logaritmo de un número.

• El logaritmo de un número, positivo, en base a, positiva y distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número m dado:

                                                       log_a m = z  ⇔  m = a^z

           Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales, y se expresan por log_{10 :}

                                                       log₁₀ m =  log m 

          Cuando la base es a = e , se llama logaritmos neperianos o naturales , y se expresan por ln en vez de log_{e  :}

                                                                         log_e m = ln m
Ejemplos :
                        log₃ 9 = 2   ⇔  9 = 3²

                        log 1000 = 3   ⇔  1000 = 10³

Sistema Ecuaciones Exponenciales :

Un sistema de ecuaciones es exponencial si al menos una de sus ecuaciones es exponencial como los dos siguientes :

En la resolución de estos sistemas aplicamos los procedimientos utilizados en la resolución de ecuaciones exponenciales. Consideramos los dos tipos de sistemas más usuales 

• Sistemas en los que una o más ecuaciones son reducibles a una igualdad de potencias con la misma base :

Ejemplo : 

si igualamos los exponentes de la ecuación obtenemos :

• Sistema en los que una o más ecuaciones son resolubles realizando un cambio de variable :

Ejemplo :

      

                                      Haciendo los cambios de variable, 5^x  =  z , 6^y =  t , queda :

                                         Deshaciendo los cambios de variable obtenemos:

 Ecuaciones exponenciales:

 Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente de una      potencia.

 No se pueden dar procedimientos generales para resolver este tipo  de condiciones por  eso empleamos :

• Ecuaciones reducibles a igualdad de potencias con la misma base .

           La ecuación exponencial la resolveremos a partir de la ecuación algebraica que                  resulte de igualar los exponentes :

               Ejemplo:            4 • 2^3x  = 2048 ⇒ 2^3x = 512 ⇒ 2^3x = 2⁹  

                                                        3x = 9 ⇒ x = 3

• Ecuaciones resolubles por cambio de variable :

               Ejemplo 1 :           

                                                      3^x + 3^x-1 + 3^x-2  = 13 ⇒ 3^x + 3^x  +  3^x  = 13

                                                                                                      3        3²

    Haciendo el cambio de variable 3^x = Z , obtenemos la ecuación :

                                                                        

                                         Z +  Z  + Z  =  13

                                                  3     9

                                                                   9z + 3z + z = 13 • 9

                                                                   13z = 13 • 9  ⇒ z = 9 

               Y deshaciendo el cambio de variable :

                                                             3^x  = 9  ⇒  3^x = 3²  ⇒  x = 2

                   

              

Método de Gaus :

• El método de Gaus es una generación del método de resolución, y consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente en el que se haya eliminado el máximo número de incógnitas y de ecuaciones posible. 

         Para aplicar el método de Gaus utilizamos los criterios de equivalencia de la forma siguiente :

• Cambiamos el orden de dos ecuaciones. Lo detonamos por E_i ↔ E_j

•  Multiplicamos los dos miembros de una ecuación por un mismo número . Lo detonamos por E_i → tE_j
•  Cambiamos una ecuación por la suma de ella misma más una combinación lineal de otras . Lo denotamos por E_i → E_i + tE_j
• Suprimimos todas las ecuaciones que sean combinación lineal de otras 

    Ejemplo:

 Sistema de ecuaciones de segundo grado lineal

 1 .Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben verificarse para los mismos           valores de las incógnitas, llamados soluciones del sistema.

 2 .Un sistema de ecuaciones es de segundo grado si al menos una de sus ecuaciones es de segundo       grado.

 3 . Un sistema equivalente son aquellos que tienen las mismas soluciones, aunque no tengan el            mismo número de ecuaciones.

 4 .Un sistema de ecuaciones lineales:

• Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas de igualdades de la forma:

• Las incógnitas son    x₁ , x₂ ,……, x_n
• Los coeficientes son  a_ij              
• Los términos independientes son k₁ , k₂ ,……, k_m

  En función del número de soluciones, los sistemas se clasifican en :

• Compatibles: son los que tienen, al menos, una solución.

• Determinado: Si posee una única solución
• Indeterminado: Si posee más de una solución (infinitas)

      •  Incompatibles: Son los que no poseen solución.

•  

       

  Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede transformar en otra equivalente del tipo :

                ax²  +  bx  +  c =  0     con    a ≠ 0

Una ecuación de segundo grado de la forma  ax²  +  bx  +  c =  0  tiene por soluciones o raíces :

                              x =   - b ± √ b² – 4 ac   

                                                    2a

La expresión ∆ = b² - 4ac  se llama discriminante

   1. Resolución de las ecuaciones incompletas de segundo grado :

• Si b = c = 0, la ecuación es de la forma ax² = 0 y se resuelve despejando la incógnita x. La única solución es x = 0  
• Si b = 0, la ecuación es de la forma ax² + c = 0  y se resuelve despejando la incógnita x . Tiene como solución     x = ± √ - c

                                                                                     a

• si c = 0, la ecuación es de forma  ax² + bx = 0 y se resuelve sacando factor común e igualando a cero los factores resultantes 

                                                x ( ax + b ) = 0  ⇔  x = 0   o  x =  - b

                                                                                                          a 

  2. Relaciones de Cardano

• Toda ecuación de segundo grado de la forma ax² + bx  + c = 0  adopta la forma:  x2  - Sx + P = 0  

                     Siendo : S = x₁ + x₂ = - b  

                                                                    a

                                         P = x₁ • x₂ =   c  

                                                                    a

                        Con x_{1 y}  x₂  las soluciones de la ecuación  

      _{3.  Las ecuaciones pueden factorizarse :}

• Son ecuaciones de la forma P(x) = 0 en las cuales el polinomio P(x) se puede descomponer en factores. Las soluciones se obtienen igualando a cero cada factor de la descomposición factorial

    4. Las ecuaciones bicuadradas :

• Son ecuaciones de la forma ax⁴ + bx² + c = 0. Para resolverlas se transforman en ecuaciones de segundo grado

      _{5.  Las ecuaciones irracionales :}

• Una ecuación es irracional cuando tiene la incógnita bajo el signo radical y su resolución es

                      1.  Se aísla un radical en un miembro, pasando los restantes términos al otro miembro.
                      2. Se elevan al cuadro los dos miembros de la ecuación.
                      3. Si todavía existe algún radical en la ecuación se repite el proceso anterior.
                      4. Se resuelve la ecuación resultante y se comprueba cuáles de las soluciones obtenidas                            verifican la ecuación con radicales dada.