Inecuaciones de primer grado con los incógnitas:

Una inecuación de primer grado con los incógnitas es una inecuación que se puede transformar en otra equivalente de una de las siguientes formas :
                                                                                                         ax + by ˃ c
                                                                                                         ax + by ˂ c
                                                                                                         ax + by ⦥ c
                                                                                                         ax + by ⦤ c

Para resolver una inecuación de primer grado con dos incógnitas :

1. Representamos graficamente la función afín o lineal :      ax + by < c    asociada a la inecuación y obtenemos la recta correspondiente .
2. La recta divide el plano en dos semiplanos .Discutimos cuál de los semiplanos es solución utilizando un punto y estudiando si verifica o no la inecuación :
3. Inclusión o no de la recta o frontera en la solución :

• En la inecuación del tipo :

                      ax + by > c               ax + by < c        no se incluye la recta o frontera

• Y en las inecuaciones del tipo :

                      ax + by ⦥ c                 ax + by ⦤ c         si se incluye en la recta o frontera

 

Resolución inecuación racional:

(3x - 2)/x > 4/x

Es una ecuación racional. No podemos simplificar los denominadores (aunque ambos miembros están divididos por x), porque x puede ser un número positivo o negativo, y si fuera negativo habría que invertir la desigualdad (porque al simplificar estamos dividiendo por x).

Lo que se hace allí es pasar todos los términos al mismo miembro, y que quede cero en el otro:

(3x - 2)/x - 4/x > 0

Y ahora quedó una resta de dos fracciones con el mismo denominador, así que podemos directamente restar los numeradores:

(3x - 2 - 4)/x > 0
(3x - 6)/x > 0

Y ahora usamos que:
Una fracción es mayor que cero (positiva), cuando:

- El numerador y el denominador son mayores que cero (positivos) (+ por + = +)

- El numerador y el denominador son menores que cero (negativos) (- por - = -)

(Para ver más sobre esto puedes ver las dos respuestas que siguen abajo que explican lo mismo)

Así que hay dos posibilidades:

1) 3x - 6 > 0     y     x > 0     ó

2) 3x - 6 < 0     y     x < 0


Alternativa 1:

3x - 6 > 0    y    x > 0

3x > 6

x > 6/3

x > 2          y      x > 0

Nos podemos dar cuenta (y sino se grafican en la recta numérica) que los números que cumplen esas dos cosas son los números mayores que 2:

x > 2
Números que pertenecen al intervalo:
(2;+∞)


Alternativa 2:

3x - 6 < 0     y     x < 0

x < 2             y     x < 0

Y los que cumplen esas dos cosas son los números menores que 0:
x < 0

Números que pertenecen al intervalo:

(-∞;0)

La solución final es el conjunto formado por los elementos de los dos intervalos. Como son intervalos que no tienen ningún número en común ("disjuntos", lo puedes ver si graficas los dos en la misma recta numérica), la solución es la unión de esos dos intervalos:

SOLUCIÓN: (2,+∞) U (-∞;0)

 

  Inecuaciones Racionales:

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a 2. Es uno de los que trae más complicaciones, porque una inecuación racional es una expresión de tipo fracción, donde la variable está en el numerador y el denominador.

Ojooo:

1.      No multiplicar en cruz

2.      Para saber si el intervalo es abierto y cerrado

3.      El denominador siempre es abierto

4.      Numerador depende de la desigualdad

Pasos

1.      Hallamos las raíces del numerador y del denominador.

2.      Representamos estos valores en la recta real, teniendo en cuenta que las raíces del denominador, independientemente del signo de la desigualdad, tienen que ser abiertas.

3.      Tomamos un punto de cada intervalo y evaluamos el signo en cada intervalo:

4.      La solución está compuesta por los intervalos (o el intervalo) que tengan el mismo signo que la fracción polinómica.

 Para resolver la inecuacion racional de los tipos :

                      ax + b   > O        ax + b    ˂ O

                      cx + d                 cx + d

 

aplicamos la siguiente propiedad:

 

 

´´ La expresión   P(x)   =  ax + b  toma los valores del mismo signo en cada uno de los intervalos :

                            Q(x)        cx + d

(- ∞ , x₁ ) ; ( x₁ ,x₂ ) ; ( x₂ , + ∞ ) siendo x_{1 ,} x₂  las raices de los polinomios P(x) y Q(x) ´´