Matemáticas: si te parecen fáciles es que las estás haciendo mal.: noviembre 2015

domingo, 29 de noviembre de 2015

Resolución de los ejercicios del examen:

Ejercicio 17 :.- Encuentra un polinomio de grado 4 que no tenga raíces

X⁴ + 1 = 0

X⁴ = -1 pasamos el termino independiente al otro lado del igual y al pasarlo cambiamos su signo de positivo a negativo

X = ⁴√-1 para que la x este elevada a la uno tenemos que hay que meter el termino del otro lado del igual dentro de la raiz elevada a la 4 y nos da una raiz de indice negativo no tiene solución en los reales

x no tiene solución en los reales si x es distinto de 0

Ejercicio 40 :-Escribe un polinomio de segundo grado p(x) tal que p(-1) = 1, p(2) = -3 y p(3) = 0.

P(x) = ax⁴ + bx²+ c ;
Como primer sustituimos los valores a P(x) por (-1), (2), (3)

P(-1) = 1 ; a (-1)² +b (-1) +c =1

P(2) = -3 ; a (2)² +b (2) +c =-3

P(3) = 0 ; a (3)² +b (3) +c = 0

Luego planteamos las distintas ecuaciones como un sistema de ecuaciones:

a - b + c = 1
4a + 2b + c = -3 ⇒ damos un valor a c = 1 - a + b y lo sustituimos en la ecuación
9a + 3b + c = 0

Luego multiplicamos a cada ecuación por un número para q el termino a o b se pueda ir haciendo una suma : yo multiplico la primera ecuación por - 4 y la segunda ecuación por 3

Por ultimo sacamos el valor de a y lo sustituimos en una de las ecuaciones para que nos de el valor de b y después volvemos a sustituir ahora el termino a y b para hallar el ultimo valor el valor c

Inecuaciones de segundo grado:

En la resolución de inecuaciones de segundo grafo de los tipos :

ax² + bx + c ˃ 0 ax² + bx + c ˂ 0

y aplicamos la siguiente propiedad:

- El polinomio P(x) = ax² + bx + c toma valores del mismo signo en cada uno de los intervalos :

(-∞, x₁ ) ; ( x₁ , x₂ ) ; ( x₂ , +∞ )

siendo x₁ y x₂ sus ceros o raices , con x₁˂ x₂ -

Ejemplo: x² - 6x + 5 ⦥ 0

Calculamos las raíces del polinomio P(x) x² - 6x + 5 que son = 1 y = 5 . Representamos estos valores en la recta real quedando esta dividida en tres intervalos . En cada uno de ellos el signo P(x) se mantiene constante por lo que basta con determinar el signo toma P(x) para un valor cualquiera en cada uno de los intervalos:

Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita:

Un sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita es un conjunto de inecuaciones de primer grado y todas las inecuaciones con la misma incógnita.

La solución de un sistema de inecuaciones es el conjunto de números reales que verifican a la vez todas las inecuaciones

Para reolver un sistema de inecuaciones se siguen estos pasos :si suponemos que tenemos este sistema de inecuaciones :

Se resuelven cada inecuación por separado

2x + 10 – 4x ⦤ x + 15 ⇔ -3x ⦤ 9

3x ⦥ -9 ⇔ x ⦥ -3

2x – (x –2) ˃ 6 ⇔ 2x – x + 2 ˃ 6

X ˃ 4

Se buscan las soluciones comunes .

Como podemos observar en el gráfico, la solución del sistema de inecuaciones es: ( 4 , +infinito)

Inecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que aparecen una o más incógnitas en los miembros de la desigualdad .Los valores que verifican la inecuación son sus soluciones
Una inecuación de primer grado con una incógnita es una inecuación que se puede transformar en otra equivalente de una de las siguientes formas:

ax ˃ b ax ⦥ b

ax ˂ b ax ⦤ b

Para resolver una inecuación de primer grado con una incógnita :

1 . Operamos en ambos miembros suprimiendo los paréntesis que contengan

2 . Eliminamos denominadores reduciendo previamente ambos miembros a común denominador positivo

3 . Trasponemos términos ; los términos que contengan la incógnita a un miembro , y los terminos independientes positivo

4 . Reducimos términos semejantes en ambos miembros y llegamos a una inecuación de uno de los tipos :

ax ˃ b ax ⦥ b

ax ˂ b ax ⦤ b

5 . Despejamos la variable o incógnita

Las soluciones de una inecuación de primer grado con una incógnita se pueden expresar po medio de :

Un conjunto
Un intervalo
Una gráfica

Sistema de ecuaciones logarítmicas :

Un sistema de ecuaciones es logarítmico si , por lo menos , una de sus ecuaciones es logarítmicas

Tipos de sistemas de ecuaciones logarítmicas :

1 . Sistemas en los que una de las ecuaciones es logarítmicas .Este tipo de ecuaciones logarítmica se resuelven convirtiéndola en algebraicas .

Ejemplo :

Resolviendo el sistema algebraico obtenemos : x = 20 , y = 2

2 . Sistemas en los que todas las ecuaciones son logarítmicas .Para resolverlo usaremos uno de los distintos procedimientos.

Ejemplo:

Ecuaciones Logarítmicas:

La siguiente ecuación es logarítmica:

log₂ (x + 3) = 4

Una ecuación es logarítmica cuando la incógnitas aparece afectada por un logaritmo.

Para la resolución de las ecuaciones logarítmicas utilizamos:

Definición de logaritmo : log_a m = z ⇔ m = a^z
Igualdad de logaritmos : log_a m = log_a p ⇔ m = p

En las ecuaciones logarítmicas hay que comprobar siempre los resultados, pues, a veces , aparecen soluciones extrañas .

Propiedades De Los Logaritmos:

Los logaritmos tienen las siguientes propiedades :

1 .El logaritmo de la unidad es 0 : log_a 1 = 0
2 .El logaritmo de la base es 1 : log_a a = 1
3 .El logaritmo de una potencia de la base es el exponente : log_a a^x = x
4 .El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores :

log_a ( x • y •…..• z ) = log_ax + log_ay +…….+ log_az

5 .El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo divisor :

log_a ( x/y ) = log_ax – log_ay

6 .El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia : log_ax^y = y • log_ax
7 . El exponente de la raíz es igual al logaritmo del radicando divido por el indice de la raíz:

log_aⁿ√ x = log_a x

Logaritmos :

Observamos con atención la resolución de las siguientes ecuaciones :

2x = 16 ⇒ x = 16/2 ⇒ x = 8
X² = 16 ⇒ x = ±√ 16 ⇒ x = ± 4
2^x = 16 ⇒ 2^x = 2⁴ ⇒ x = 4
2^x= 10

En la última ecuación no conocemos el valor de x, sin embargo sabemos que está comprendido entre 3 y 4, ya que 2³ = 8 y 2⁴ = 16 .

Para obtener el valor x necesitamos el concepto denominado logaritmo de un número.

El logaritmo de un número, positivo, en base a, positiva y distinta de uno, es el exponente al que hay que elevar la base para obtener el número m dado:

log_a m = z ⇔ m = a^z

Cuando la base es a = 10, se llaman logaritmos decimales, y se expresan por log_{10 :}

log₁₀ m = log m

Cuando la base es a = e , se llama logaritmos neperianos o naturales , y se expresan por ln en vez de log_{e :}

log_em = ln m
Ejemplos :
log₃9 = 2 ⇔ 9 = 3²

log 1000 = 3 ⇔ 1000 = 10³

Sistema Ecuaciones Exponenciales :

Un sistema de ecuaciones es exponencial si al menos una de sus ecuaciones es exponencial como los dos siguientes :

En la resolución de estos sistemas aplicamos los procedimientos utilizados en la resolución de ecuaciones exponenciales. Consideramos los dos tipos de sistemas más usuales

Sistemas en los que una o más ecuaciones son reducibles a una igualdad de potencias con la misma base :

Ejemplo :

si igualamos los exponentes de la ecuación obtenemos :

Sistema en los que una o más ecuaciones son resolubles realizando un cambio de variable :

Ejemplo :

Haciendo los cambios de variable, 5^x= z , 6^y = t , queda :

Deshaciendo los cambios de variable obtenemos:

Ecuaciones exponenciales:

Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente de una potencia.

No se pueden dar procedimientos generales para resolver este tipo de condiciones por eso empleamos :

Ecuaciones reducibles a igualdad de potencias con la misma base .

La ecuación exponencial la resolveremos a partir de la ecuación algebraica que resulte de igualar los exponentes :

Ejemplo: 4 • 2^3x = 2048 ⇒ 2^3x = 512 ⇒ 2^3x = 2⁹

3x = 9 ⇒ x = 3

Ecuaciones resolubles por cambio de variable :

Ejemplo 1 :

3^x + 3^x-1 + 3^x-2 = 13 ⇒ 3^x + 3^x + 3^x = 13

3 3²

Haciendo el cambio de variable 3^x = Z , obtenemos la ecuación :

Z + Z + Z = 13

3 9

9z + 3z + z = 13 • 9

13z = 13 • 9 ⇒ z = 9

Y deshaciendo el cambio de variable :

3^x = 9 ⇒ 3^x = 3² ⇒ x = 2

Método de Gaus :

El método de Gaus es una generación del método de resolución, y consiste en transformar el sistema dado en otro equivalente en el que se haya eliminado el máximo número de incógnitas y de ecuaciones posible.

Para aplicar el método de Gaus utilizamos los criterios de equivalencia de la forma siguiente :

Cambiamos el orden de dos ecuaciones. Lo detonamos por E_i ↔ E_j

Multiplicamos los dos miembros de una ecuación por un mismo número . Lo detonamos por E_i → tE_j

Cambiamos una ecuación por la suma de ella misma más una combinación lineal de otras . Lo denotamos por E_i → E_i + tE_j

Suprimimos todas las ecuaciones que sean combinación lineal de otras

Ejemplo:

Sistema de ecuaciones de segundo grado lineal

1 .Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben verificarse para los mismos valores de las incógnitas, llamados soluciones del sistema.

2 .Un sistema de ecuaciones es de segundo grado si al menos una de sus ecuaciones es de segundo grado.

3 . Un sistema equivalente son aquellos que tienen las mismas soluciones, aunque no tengan el mismo número de ecuaciones.

4 .Un sistema de ecuaciones lineales:

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas de igualdades de la forma:

Las incógnitas son x₁ , x₂ ,……, x_n
Los coeficientes son a_ij
Los términos independientes son k₁ , k₂ ,……, k_m

En función del número de soluciones, los sistemas se clasifican en :

Compatibles: son los que tienen, al menos, una solución.

Determinado: Si posee una única solución

Indeterminado: Si posee más de una solución (infinitas)

• Incompatibles: Son los que no poseen solución.

Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede transformar en otra equivalente del tipo :

ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0

Una ecuación de segundo grado de la forma ax² + bx + c = 0 tiene por soluciones o raíces :

x = - b ± √ b² – 4 ac

La expresión ∆ = b² - 4ac se llama discriminante

1. Resolución de las ecuaciones incompletas de segundo grado :

Si b = c = 0, la ecuación es de la forma ax² = 0 y se resuelve despejando la incógnita x. La única solución es x = 0

Si b = 0, la ecuación es de la forma ax² + c = 0 y se resuelve despejando la incógnita x . Tiene como solución x = ± √ - c

a

si c = 0, la ecuación es de forma ax² + bx = 0 y se resuelve sacando factor común e igualando a cero los factores resultantes

x ( ax + b ) = 0 ⇔ x = 0 o x = - b

a

2. Relaciones de Cardano

Toda ecuación de segundo grado de la forma ax² + bx + c = 0 adopta la forma: x2 - Sx + P = 0

Siendo : S = x₁ + x₂ = - b

P = x₁ • x₂ = c

Con x_{1 y}x₂ las soluciones de la ecuación

_{3. Las ecuaciones pueden factorizarse :}

Son ecuaciones de la forma P(x) = 0 en las cuales el polinomio P(x) se puede descomponer en factores. Las soluciones se obtienen igualando a cero cada factor de la descomposición factorial

4. Las ecuaciones bicuadradas :

Son ecuaciones de la forma ax⁴ + bx²+ c = 0. Para resolverlas se transforman en ecuaciones de segundo grado

_{5. Las ecuaciones irracionales :}

Una ecuación es irracional cuando tiene la incógnita bajo el signo radical y su resolución es

1. Se aísla un radical en un miembro, pasando los restantes términos al otro miembro.
2. Se elevan al cuadro los dos miembros de la ecuación.
3. Si todavía existe algún radical en la ecuación se repite el proceso anterior.
4. Se resuelve la ecuación resultante y se comprueba cuáles de las soluciones obtenidas verifican la ecuación con radicales dada.

sábado, 14 de noviembre de 2015

Sistames de ecuaciones :

Observación del profesor : Una ecuación puede verse como un sistema de ecuaciones de solo una ecuación
La solución en un sistema verifica todas las ecuaciones a la vez

2x + 1 = 0

X – 3 = 0 à X = - 1 { - 1 }

2 2 la solución es ø

X = 3 {3}

Ecuación polinómica de 2 grado :

ax2 + b x + c = 0 ( a ≠ 0 )

x2 + b x + c = 0

a a

Ecuaciones Irracionales :

√x²- 1 , +1 = 0

√x² – 1 = x – 1 ; ( √ x² – 1 )² = ( x – 1)²;

X² – 1 = x² + 1 – 2x ; 2x = 2 ; x = 1

Ahora hay que comprobarlo ya que hemos elevado al cuadrado y que se pueden añadir soluciones estrañas o también llamadas no válidas

Comprobación :

√1²- 1 , +1 = 0

√0 + 1 = 0

Ecuaciones Polinómicas :

Las ecuaciones polinómicas son una clase que comprende tanto las ecuaciones lineales como las cuadráticas. La forma general de la ecuación polinómica es:

a_nxⁿ + a_n-1x_n-1 + … + a² × 2 + a^1x + a₀ = 0

Aquí x representa una variable en particular, y a_n, a_n-1. . . a₂, a₁, a₀

La solución al problema del polinomio, consiste en encontrar todas las raíces de la ecuación dada.

Ecuaciones Equivalentes :

Observación : Utilizamos el plural cuando la operación es simétrica

A los miembros de una ecuación los multiplicamos por un número distinto de la operación equivalente

Ejemplo : x = 2 es 2

0x = 0 todos los ℝ

Descomposición en factores simples :

Descomposición de fracciones algebraicas en factores simples si consideramos integrales de la forma $\int$ ${\frac{P(x)}{Q(x)}}$ , donde P(x) y Q(x) dx son polinomios en x. Si el grado de P(x) es mayor que el de Q(x), Efectuamos la división de polinomios. Si C(x) es el cociente, y R(x) el resto, será:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$ dx = $\displaystyle \int$ C(x) dx + $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{R(x)}{Q(x)}}$ dx

Sea pues el grado de P(x) menor que el de Q(x).
Efectuamos la descomposición de Q(x) en la forma:
Q(x) = (x - a₁).(x - a₂)...(x - a_n)

- Si las raíces del polinomio, a_i, son reales y distintas, identificamos el integrando con la siguiente suma de fracciones simples:

${\frac{P(x)}{Q(x)}}$ = ${\frac{A_{1}}{x-a_{1}}}$ + ${\frac{A_{2}}{x-a_{2}}}$ + .. + ${\frac{A_{n}}{x-a_{n}}}$
Determinamos el valor de los A_i efectuando la suma de fracciones:
${\frac{P(x)}{Q(x)}}$ = ${\frac{A_{1}(x-a_{2})..(x-a_{n})+A_{2}(x-a_{1}%% )..(x-a_{n})+..A_{n}(x-a_{1})..(x-a_{n-1})}{Q(x)}}$
E identificando los coeficientes de los polinomios de los dos numeradores. La integral quedará:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$ dx = A₁ln(x - a₁) + A₂ln(x - a₂) + .. + A_nln(x - a_n)

Ejemplo: $\int$ ${\frac{x^{4}-4x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ dx. Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, efectuamos la división, obteniendo:

Resolvemos Ejercicio Planteado :

ax + b = 0

Si a = 0 Ɇ solución
Si a ≠ 0 y b ≠ 0 Ǝ solución
Si b = 0 ⇒ x = 0
Si a = 0 y b = 0 Ǝ infinitas soluciones

Corrección del profesor :

ax + b = 0 ⇒ ax = - b

1) a ≠ 0

x = -b a = b ⇒ ac = bc

Contraejemplo:

8 • 0 = 3 • 0 ; 8 ≠ 3 ⇒ a = b

Demostración :

ac = bc ˰ c ≠ 0

2) a = 0

0x + b = 0 Si b = 0 = ℝ

Si ≠ 0 no hay solución la cual es el conjunto vacio representado como : ø

domingo, 29 de noviembre de 2015

Resolución de los ejercicios del examen:

Inecuaciones de segundo grado:

Sistema de inecuaciones de primer grado con una incógnita:

Inecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

Sistema de ecuaciones logarítmicas :

Ecuaciones Logarítmicas:

Propiedades De Los Logaritmos:

Logaritmos :

Sistema Ecuaciones Exponenciales :

Ecuaciones exponenciales:

Método de Gaus :

Sistema de ecuaciones de segundo grado lineal

Ecuaciones de segundo grado

sábado, 14 de noviembre de 2015

Sistames de ecuaciones :

Ecuación polinómica de 2 grado :

Ecuaciones Irracionales :

Ecuaciones Polinómicas :

Las ecuaciones polinómicas son una clase que comprende tanto las ecuaciones lineales como las cuadráticas. La forma general de la ecuación polinómica es:

Ecuaciones Equivalentes :

Descomposición en factores simples :

Resolvemos Ejercicio Planteado :

compañeros blogs