Ecuaciones de segundo grado

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una ecuación que se puede transformar en otra equivalente del tipo :

                ax²  +  bx  +  c =  0     con    a ≠ 0

Una ecuación de segundo grado de la forma  ax²  +  bx  +  c =  0  tiene por soluciones o raíces :

                              x =   - b ± √ b² – 4 ac   

                                                    2a

La expresión ∆ = b² - 4ac  se llama discriminante

   1. Resolución de las ecuaciones incompletas de segundo grado :

• Si b = c = 0, la ecuación es de la forma ax² = 0 y se resuelve despejando la incógnita x. La única solución es x = 0  
• Si b = 0, la ecuación es de la forma ax² + c = 0  y se resuelve despejando la incógnita x . Tiene como solución     x = ± √ - c

                                                                                     a

• si c = 0, la ecuación es de forma  ax² + bx = 0 y se resuelve sacando factor común e igualando a cero los factores resultantes 

                                                x ( ax + b ) = 0  ⇔  x = 0   o  x =  - b

                                                                                                          a 

  2. Relaciones de Cardano

• Toda ecuación de segundo grado de la forma ax² + bx  + c = 0  adopta la forma:  x2  - Sx + P = 0  

                     Siendo : S = x₁ + x₂ = - b  

                                                                    a

                                         P = x₁ • x₂ =   c  

                                                                    a

                        Con x_{1 y}  x₂  las soluciones de la ecuación  

      _{3.  Las ecuaciones pueden factorizarse :}

• Son ecuaciones de la forma P(x) = 0 en las cuales el polinomio P(x) se puede descomponer en factores. Las soluciones se obtienen igualando a cero cada factor de la descomposición factorial

    4. Las ecuaciones bicuadradas :

• Son ecuaciones de la forma ax⁴ + bx² + c = 0. Para resolverlas se transforman en ecuaciones de segundo grado

      _{5.  Las ecuaciones irracionales :}

• Una ecuación es irracional cuando tiene la incógnita bajo el signo radical y su resolución es

                      1.  Se aísla un radical en un miembro, pasando los restantes términos al otro miembro.
                      2. Se elevan al cuadro los dos miembros de la ecuación.
                      3. Si todavía existe algún radical en la ecuación se repite el proceso anterior.
                      4. Se resuelve la ecuación resultante y se comprueba cuáles de las soluciones obtenidas                            verifican la ecuación con radicales dada.