Matemáticas: si te parecen fáciles es que las estás haciendo mal.

sábado, 14 de noviembre de 2015

Descomposición en factores simples :

Descomposición de fracciones algebraicas en factores simples si consideramos integrales de la forma $\int$ ${\frac{P(x)}{Q(x)}}$ , donde P(x) y Q(x) dx son polinomios en x. Si el grado de P(x) es mayor que el de Q(x), Efectuamos la división de polinomios. Si C(x) es el cociente, y R(x) el resto, será:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$ dx = $\displaystyle \int$ C(x) dx + $\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{R(x)}{Q(x)}}$ dx

Sea pues el grado de P(x) menor que el de Q(x).
Efectuamos la descomposición de Q(x) en la forma:
Q(x) = (x - a₁).(x - a₂)...(x - a_n)

- Si las raíces del polinomio, a_i, son reales y distintas, identificamos el integrando con la siguiente suma de fracciones simples:

${\frac{P(x)}{Q(x)}}$ = ${\frac{A_{1}}{x-a_{1}}}$ + ${\frac{A_{2}}{x-a_{2}}}$ + .. + ${\frac{A_{n}}{x-a_{n}}}$
Determinamos el valor de los A_i efectuando la suma de fracciones:
${\frac{P(x)}{Q(x)}}$ = ${\frac{A_{1}(x-a_{2})..(x-a_{n})+A_{2}(x-a_{1}%% )..(x-a_{n})+..A_{n}(x-a_{1})..(x-a_{n-1})}{Q(x)}}$
E identificando los coeficientes de los polinomios de los dos numeradores. La integral quedará:

$\displaystyle \int$ $\displaystyle {\frac{P(x)}{Q(x)}}$ dx = A₁ln(x - a₁) + A₂ln(x - a₂) + .. + A_nln(x - a_n)

Ejemplo: $\int$ ${\frac{x^{4}-4x^{2}+x+1}{x^{3}+x^{2}-4x-4}}$ dx. Como el grado del numerador es mayor que el del denominador, efectuamos la división, obteniendo:

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sábado, 14 de noviembre de 2015

Descomposición en factores simples :

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