EXAMEN ANTES DE SEMANA SANTA PARTE 2

 

                                            Examen :

   Aqui os dejo la prate que falta del examen , si hay algun error ya sabeis , que me lo podeis poner en los comentarios .

EXAMEN ANTES DE SEMANA SANTA PARTE 1

 

                                           Examen:

    Se que es un poco tarde , pero aqui os dejo una parte del examen facilitado por nuestro profesor.

EJERCICIO DE FUNCIONES

 

    Ejercicio :

       Aqui os dejo un ejercicio dictado por nuestro profesor relacionado con la   entrada anterior que trata sobre las operaciones con funciones .

      Como no encontraba la forma de realizar la cuestión sin datos he dado un valor f (x) inventado para asi poder obtener una correcta solución. 

OPERACIONES CON FUNCIONES

 

Aqui os dejo unas hojas  donde os espongo las diferentes operaciones de funciones y sus propiedades.

FUNCIONES 2

 

 

CARACTERÍSTICAS :

 

 

 

 

 

 

 

 

FUNCIONES 1

 

ACTIVIDADES FINALES

                               ACTIVIDADES FINALES :

      EJERCICIO (11) , PÁGINA 223 :

 

 

 

 

LIMITES

 

                                                              LÍMITES

    Aqui os dejo una hoja con algunos limites resueltos y en donde estan explicados los mecanismos
         por los cuales se pueden resolver estas operaciones , espero que os sea de ayuda.

INDETERMINACIONES 2

 

    INDETERMINACIONES ( POTENCIA )

       Hoy en clase hemos continuado con las indeterminaciones , explicando la potencia  y 

   aqui os dejo la tabla que hemos realizado entre todos espero que os sea de ayuda .

IMPORTANTE :

La siguiente tabla no es una indeterminacion aunque lo ponga en el titulo es la propiedad de la suma

INDETERMINACIONES 1

 

                                                                           

        PRODUCTO :

    COCIENTE :



CALCULO DE LÍMITES

SUCESIÓN DIVERGENTE

 

 

                        SUCESIONES DIVERGENTES

Una sucesión es divergente si los términos se aproximan cada vez más a infinito o a menos infinito (+¥ ó -¥ ). Expresado de forma rigurosa:

 

·Una sucesión (a_n  ) tiene por límite +¥ ó diverge a +¥ si elegido un número k tan grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice n_o   tal que para cualquier

n ³ n_o  , a_n   > k.

 

Esto es equivalente a afirmar que para n ³ n_o  , a_n   está en el intervalo (k, +¥), es decir, los términos se hacen tan grandes como se quiera.

 

·Una sucesión (a_n  ) tiene por límite -¥ ó diverge a -¥ si elegido un número k tan

grande como se quiere, se puede encontrar un subíndice n_o   tal que para cualquier

n ³ n_o  , a_n   < -k.

 

Esto equivale a decir que para n ³ n_o  , a_n   pertenece al intervalo (-¥, -k).

 

Igual que en las sucesiones convergentes, para cada número k elegido, el subíndice n_o   será distinto. Cuanto mayor sea k, mayor resultará n_o   .

 

Sucesión oscilante

Una sucesión (a_n  ) se dice que es oscilante si no es convergente ni divergente.

 

 

 

Ejercicio:

 Probar que la sucesión a_n   = 5n² - 9 diverge a +¥.

 

Resolución:

 

·Se elige un número k tan grande como se desee. Por ejemplo k = 10⁸.

 

·Hay que encontrar los valores de n para los cuales a_n >10⁸, es decir, 5n²- 9 >10⁸.

 

·En 5n² - 9 > 10⁸ se suma 9 a los dos miembros: 5n² > 10⁸ + 9 = 100 000 009.

 

 

 

A partir del término a_{4 473}, a_n   > 10⁸.

 

‚ ¿Tiene límite la sucesión a_n   = (-1)ⁿ  ·3?

 

Resolución:

 

· Los términos de esta sucesión son:

-3, 3,  -3,3,  -3,3, ...

 

·La sucesión a_n   = (-1)ⁿ  ·3 es oscilante.

 

· Se ha de probar que no tiene límite: los posibles límites son 3 y -3.

 

 

Si se toma e = 1, los términos impares a_2n-1 = -3 no éstan en el intervalo

(I - e, I + e) = (2, 4). No se puede encontrar un n₀  a partir del cual todos los términos están dentro del intervalo (2, 4).

 

 

Si se toma e = 1, los términos pares a_2n  = 3 no se encuentran en (I - e, I + e) =

(-4, 2). No se puede encontrar un n₀ a partir del cual todos los términos estén dentro del intervalo (-4, 2).

 

 

Por lo tanto la sucesión es oscilante.

OPERACIONES CON SUCESIONES

SUCESIÓN CONVERGENTE

 

 

                                    SUCESIÓN CONVERGENTE :

 

 

Toda sucesión que tenga límite se dice que es convergente.

 

Una sucesión (a_n  ) que tenga por límite I, se dirá que tiende a I o que converge a I.

 

 

 

                

 

Resolución:

 

·Se toma un e cualquiera (sin especificar más).

 

·Hay que encontrar un n_o   tal que para n ³ n_o , 0 - e < a_n  < 0 + e.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Decidir si la sucesión de término general

es convergente y, en caso afirmativo, hallar el límite.

 

Resolución:

· Para n =1, a₁ = -1/6 = -0,1666

 

Para n = 7, a₇ = 0,9166

 

a₁₀₀₀₀ = 1,9997001; a₃₀₀₀₀ = 1,9995667;...

Todo parece indicar que el límite de esta sucesión, cuando n tiende a infinito, es 2.

 

Para probarlo, se hará uso de la definición.

 

· Se toma un e cualquiera.

 

· Hay que ver a partir de qué n se cumple |a_n   - 2| < e.

 

 

                                          

 

13 < e(n + 5) = en + 5e Þ 13 - 5e < en.

 

 

 

 

En consecuencia, a₁₂₉₉₆, a₁₂₉₉₇, a₁₂₉₉₈ ... están todos contenidos en el

Halla la motonotana y la acotación de :

Empleamos el ejercicio 8 de la pagina 222 como segundo ejemplo :

Actividades finales tema 9

 

     Os expongo una serie de actividades del tema 9 espero que os sean de ayuda