ASINTOTA

   

   Hoy mientras resolvía el ejercicio 6 y 7 del examen mandado para casa me he dado cuenta que para hacer el estudio completo de una función se necesita manejar perfectamente el termino asíntota por lo tanto , aqui os dejo la definición con ejemplos resueltos de lo que es una asíntota .

-  DEFINICIÓN :

  Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función :

     1, Las asíntotas se clasifican en:

                                                             -  Verticales                                                              -  Horizontales                                                               -  Oblicuas

1. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)
   Si existe un número “a” tal, que :
   
   
   
   La recta “x = a” es la asíntota vertical.
   
   

1. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)
   Si existe el límite: :
   
   
   
   La recta “y = b” es la asíntota horizontal.
   
   
   

1. Asíntotas oblicuas (inclinadas)
   Si existen los límites: :
   
   
   
   La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

                Ejemplo:

                                           

             es la asíntota oblicua.

 Nota-1 :

  Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

 Nota-2 :

  En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

      Posición relativa de la función con respecto a la asíntota

  Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:

 Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota.      Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota].

    Ejemplo:

         La función  tiene por asíntota oblicua la recta 

  Calculamos los puntos de intersección de ambas:

           

    El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).

  Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.

                           

  Esto nos indica que en el intervalo  la función está por encima de la asíntota y en el intervalo  la función está por debajo de la asíntota.