Matemáticas: si te parecen fáciles es que las estás haciendo mal.: mayo 2016

martes, 24 de mayo de 2016

método bisección

Aquí os dejo mis apuntes sobre el método de bisección al igual que un ejercicio ya resuelto , espero que os sirva de gran ayuda .

Y aquí os dejo otro teorema : el teorema de Bolzano .

domingo, 15 de mayo de 2016

EJERCICIOS BLINKLEARNING DERIVADAS . PARTE 2

Aquí os dejo unos ejercicios de mi aula virtual parte 2, mandados por mi profesor , ya están hecho , pero si veis algún error dejarlo en los comentarios , estos ejercicios son diferentes a los anteriores en que estos tienen un apartado de dominio.

EJERCICIOS BLINKLEARNING DERIVADAS . PARTE 1

Aquí os dejo unos ejercicios de mi aula virtual parte 1, mandados por mi profesor , ya están hecho , pero si veis algún error dejarlo en los comentarios .

Ejercicios derivadas

Aquí os dejo una serie de derivadas ya hechas, si veis algún fallo ponerlo en los comentarios .

TIPOS DE FUNCIONES

Aquí os dejo 3 tipos de funciones con un ejemplo , al igual que una demostración resuelta , espero que os sea de gran ayuda.

lunes, 9 de mayo de 2016

TABLA DE DERIVADAS

Aquí os dejo mis apuntes sobre los tipos de derivadas :

Demostración :

TIPO DE DERIVADA

DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA :

REGLA DE LA CADENA

Aquí os dejo mis apuntes de matemáticas sobre la regla de la cadena, contiene ejemplos y la proposición .

miércoles, 4 de mayo de 2016

REFLEXIÓN EXAMEN

   Primero empezar diciendo que me toco una buena pareja de trabajo , con la cual pude realizar los ejercicios de una forma equilibrada ya que la cantidad de ejercicios fue dividida equitativamente para ambos , aunque tuvimos dificultades para quedar ,ya que vivimos muy lejos uno del otro conseguimos encontrar la forma de poder quedar aunque solo fueron 3 días y hacer las actividades conjuntamente.

   Luego añadir que este trabajo previo al examen , al igual que en la evaluación pasada , fue sorprendentemente de gran ayuda para el refuerzo de la forma de trabajo en equipo y la toleración de criticas constructivas y correcciones .

     Para finalizar el empleo de aparatos electrónicos como herramienta para la realización del examen fue otra gran aportación para la ampliación de conocimientos , aunque, nos costara poder acceder a ello o nos fuera difícil poder trabajar al 100% con algunos de los programas facilitados por nuestro profesor.

   La calificación que nos pusimos al finalizar el examen fue de un 7.5 , pero en vista de las soluciones enviadas por nuestro profesor y de la comparación con nuestro examen , debo decir que la nota se quedaría menguada hasta la calificación de un 6 .

CORRECCION DEL EXAMEN 2

5.- Estudio de funciones reales de variable real.

a) (3 puntos) Estudia las asíntotas de la función definida por donde S es la función signo.

b) (6 puntos) Dominio, continuidad y asíntotas de la función definida por:

Dominio: Nos fijamos en la expresión analítica del primer trozo, ¿hay algún x, número real, tal que x²+1<0? à No. Y por otra parte, el denominador x ≠ 0. Habría que quitar x = 0 pero dicho punto no forma parte del primer trozo (-∞,-2] en el que la función tiene (1) . En el segundo trozo, el intervalo (-1,3), observamos que aparentemente no hay gráfica, ¡Ojo, no nos dejemos llevar por las apariencias! Hagamos un estudio analítico: Nos fijamos en la expresión analítica de dicho (2) ¿hay algún x, número real, tal que x² – 9 < 0? à (-3,3). Y por otra parte, ¿hay algún x, número real, tal que (x+1)(x–3)=0? à x=-1 y x=3. Por tanto, hay que quitar los puntos del intervalo (-3,3] à (-1,3) – (-3,3] =

à efectivamente no hay función en ese segundo tramo. Y en el tercer trozo, (3,5), la función es constante.

Continuidad: continua por ser operaciones de funciones continuas.

Asíntotas:

Verticales: observando la gráfica à no tiene
Horizontales: de 5 en adelante la función no existe à no existe límite de dicha función cuando x tiende a +∞

(1)

(2)

¡Ojo! Explicación del signo negativo: cuando x à -∞ el denominador es negativo y el numerador es positivo, por tanto el cociente es negativo.

g tiene una asíntota horizontal à y = -1 cuando x à -∞

Observando la gráfica de la función h podemos estudiar sus características

3.- Imagen y sobreyectividad

h es sobreyectiva

4.- Inyectividad

h es inyectiva ¿Por qué?

5.- Signo y ceros. Ordenada en el origen

1 1’19258 aproximadamente

cero

h tiene un cero en 1’19258

h no tiene ordenada en el origen, no existe h(0)

6.- Continuidad y asíntotas

h es continua por ser operaciones de funciones continuas.

Asíntotas verticales

7.- Acotación y extremos absolutos

h no está acotada ni superiormente ni inferiormente, no tiene extremos absolutos

8.- Monotonía y extremos relativos

h es estrictamente creciente y no tiene extremos relativos

9.- Convexidad y puntos de inflexión

h es convexa hacia abajo y no tiene puntos de inflexión

CORRECCIÓN EXAMEN 1

4.- (5 puntos)

a) ¿Cuál es el dominio de la función composición f◦g de dos funciones f y g? Pon dos ejemplos diferentes.

En la función composición f◦g actúa en primer lugar g por tanto para conocer su dominio la pregunta claves es a dónde van a parar las imágenes de los puntos del dominio de g, es decir Img. Por tanto si Img está contenido en Domf entonces Domf◦g = Domg.

Observamos como el dominio de la función compuesta (gráfica azul) coincide con el dominio de la función primera en actuar, la función g (gráfica roja). El dominio de la función que actúa en segundo lugar, la función f (gráfica verde) contiene a la imagen de la función g, en este caso coinciden.

Observa con detenimiento y análisis el gráfico y razona cuál es el dominio de la función compuesta.

b) Demuestra que la composición de dos funciones lineales es una función lineal.

Sean dos funciones lineales definidas por y=f(x)=ax (a un número real cualquiera, si a=0 tendremos la función nula) e y=g(x)=bx (b un número real cualquiera, si a=0 tendremos la función nula). Hallemos f◦g y g◦f

f◦g(x)=f(g(x))=f(bx)=a(bx)=(ab)x una función lineal de pendiente ab

g◦f(x)=g(f(x))=g(ax)=b(ax)=(ba)x una función lineal de pendiente ba

Demostrado y además f◦g(x)= g◦f(x) pues ab=ba

c) La mayoría de los cambios de unidades son funciones lineales. Pon uno que no lo sea.

El cambio de grados Celsius (t) a grados Kelvin (T) à T = t + 273’15 es una función afín no lineal.

d) ¿Qué tipo de función es la composición de una función lineal y una función afín no lineal?

Sea f una función lineal definida por y=f(x)=ax (a un número real cualquiera, si a=0 tendremos la función nula) y g una función afín no lineal definida por y=g(x)=bx+c (c un número real distinto de 0, c≠0, y b un número real cualquiera, si b=0 tendremos la función constante c). Observación: descartamos los casos a = 0 y b = 0, ¿las funciones constantes, polinómicas de grado 0, obviamente no son funciones polinómicas de grado 1, y las podemos considerar funciones lineales o afines?

Hallemos f◦g y g◦f ---f◦g(x)=f(g(x))=f(bx+c)=a(bx+c)=(ab)x+ac una función afín de pendiente ab y ordenada en el origen ac. Y por otra parte, g◦f(x)=g(f(x))=g(ax)=b(ax)+c=(ba)x+c una función afín de pendiente ba y ordenada en el origen c.