CORRECCIÓN EXAMEN 1

4.- (5 puntos)

a) ¿Cuál es el dominio de la función composición f◦g de dos funciones f y g? Pon dos ejemplos diferentes.

En la función composición f◦g actúa en primer lugar g por tanto para conocer su dominio la pregunta claves es a dónde van a parar las imágenes de los puntos del dominio de g, es decir Img. Por tanto si Img está contenido en Domf entonces Domf◦g = Domg.

Observamos como el dominio de la función compuesta (gráfica azul) coincide con el dominio de la función primera en actuar, la función g (gráfica roja). El dominio de la función que actúa en segundo lugar, la función f (gráfica verde) contiene a la imagen de la función g, en este caso coinciden.

Observa con detenimiento y análisis el gráfico y razona cuál es el dominio de la función compuesta.

     b) Demuestra que la composición de dos funciones lineales es una función lineal.

Sean dos funciones lineales definidas por y=f(x)=ax (a un número real cualquiera, si a=0 tendremos la función nula) e y=g(x)=bx (b un número real cualquiera, si a=0 tendremos la función nula). Hallemos f◦g y g◦f

f◦g(x)=f(g(x))=f(bx)=a(bx)=(ab)x una función lineal de pendiente ab

g◦f(x)=g(f(x))=g(ax)=b(ax)=(ba)x una función lineal de pendiente ba

Demostrado y además f◦g(x)= g◦f(x) pues ab=ba

c) La mayoría de los cambios de unidades son funciones lineales. Pon uno que no lo sea.

El cambio de grados Celsius (t) a grados Kelvin (T) à T = t + 273’15 es una función afín no lineal.

d) ¿Qué tipo de función es la composición de una función lineal y una función afín no lineal?

Sea f una función lineal definida por y=f(x)=ax (a un número real cualquiera, si a=0 tendremos la función nula) y g una función afín no lineal definida por y=g(x)=bx+c (c un número real distinto de 0, c≠0, y b un número real cualquiera, si b=0 tendremos la función constante c). Observación: descartamos los casos a = 0 y b = 0, ¿las funciones constantes, polinómicas de grado 0, obviamente no son funciones polinómicas de grado 1, y las podemos considerar funciones lineales o afines?

Hallemos f◦g y g◦f  ---f◦g(x)=f(g(x))=f(bx+c)=a(bx+c)=(ab)x+ac una función afín de pendiente ab y ordenada en el origen ac. Y por otra parte, g◦f(x)=g(f(x))=g(ax)=b(ax)+c=(ba)x+c una función afín de pendiente ba y ordenada en el origen c.