CORRECCION DEL EXAMEN 2

   5.- Estudio de funciones reales de variable real.

a) (3 puntos) Estudia las asíntotas de la función definida por  donde S es la función signo.

b) (6 puntos)  Dominio, continuidad y asíntotas de la función definida por:

Dominio: Nos fijamos en la expresión analítica del primer trozo, ¿hay algún x, número real, tal que x²+1<0? à No. Y por otra parte, el denominador x ≠ 0. Habría que quitar x = 0 pero dicho punto no forma parte del primer trozo (-∞,-2] en el que la función tiene  (1)  . En el segundo trozo, el intervalo (-1,3), observamos que aparentemente no hay gráfica, ¡Ojo, no nos dejemos llevar por las apariencias! Hagamos un estudio analítico: Nos fijamos en la expresión analítica de dicho  (2)  ¿hay algún x, número real, tal que x² – 9 < 0? à (-3,3). Y por otra parte, ¿hay algún x, número real, tal que (x+1)(x–3)=0? à x=-1 y x=3. Por tanto, hay que quitar los puntos del intervalo (-3,3] à (-1,3) – (-3,3] =  à efectivamente no hay función en ese segundo tramo. Y en el tercer trozo, (3,5), la función es constante.

 

Continuidad:       continua por ser operaciones de funciones continuas.

Asíntotas:

• Verticales:      observando la gráfica à no tiene
• Horizontales: de 5 en adelante la función no existe à no existe límite de dicha función cuando x tiende a +∞            

(1)(2)

¡Ojo! Explicación del signo negativo: cuando x à -∞ el denominador  es negativo y el numerador es positivo, por tanto el cociente es negativo.

 g tiene una asíntota horizontal à y = -1 cuando x à -∞

Observando la gráfica de la función h podemos estudiar sus características

3.- Imagen y sobreyectividad

h es sobreyectiva

4.- Inyectividad

h es inyectiva                                                                                    ¿Por qué?

5.- Signo y ceros. Ordenada en el origen

1      1’19258 aproximadamente

      cero

h tiene un cero en 1’19258

h no tiene ordenada en el origen, no existe h(0)

6.- Continuidad y asíntotas

h es continua por ser operaciones de funciones continuas.

Asíntotas verticales

-

                7.- Acotación y extremos absolutos

                         h no está acotada ni superiormente ni inferiormente, no tiene extremos absolutos

                8.- Monotonía y extremos relativos

 

                         h es estrictamente creciente y no tiene extremos relativos

                9.- Convexidad y puntos de inflexión

                         h es convexa hacia abajo y no tiene puntos de inflexión